直積集合って何?わかりやすく解説します![具体例を大切に高校生から始める群論]

直積集合とは

集合については過去お話しているのでpass!
今回は「直積」ですね。
直積とは簡単に言うと[二つの集合から新しい集合を作り出す]という操作?動作?演算?です。
まずは定義から見ていきましょう!

$$ \{(a,b) | a \in A かつ b \in B\}$$
という集合を$A$と$B$の直積集合といい$A \times B$とかく

今回も集合の読み方に則ってゆっくり日本語にしていきましょう!
まず左側の$(a,b)$ですがこれが直積集合の元になります。
そして右側$ a \in A かつ b \in B$ですが, $a$は$A$の元、$b$は$B$の元ですね。
つまり
$A$の元と$B$の元から新しい元$(a,b)$を作り出した集合
と読むことができます。

具体例でもう少し理解を深めましょう!

具体例

$A=\{1,2\}, B=\{a,b\}$のとき
$A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}$となります。

$A=\{a,b,c\},B=\{1\}$のとき
$A \times B = \{(a,1),(b,1),(c,1)\}$となります。

また特殊な場合として
$A=\phi , B=\{1,2\}$のとき
$A \times B= \phi$になります!(なぜなら$a\in Aとなるa$が存在しないので)

なぜ直積を考えるのか

なぜ直積を考えるのか?ですがもちろん集合論の中で直積は大きいウエイトを占めています。
ただ群論でも重要な性質を持っていまして
$A,B:$群ならば$A\times B$も群
というとてもいい性質があるんですね。
しかも$A\times B$が群なら$A$と同型な部分群が存在したり……
まだ理解してなくてもいいんですが「直積は群論にとってめちゃくちゃ重要である」とだけ最初に覚えてもらっていたらうれしいです><

まとめ

直積について学びましたね!
まだまだ集合の学びは尽きません!

次回もよろしくお願いします!

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